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不定積分の計算の練習問題を一緒に解いてみましょう
著作名: ふぇるまー
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不定積分の計算問題

不定積分の公式を用いて、不定積分の計算の練習問題を一緒に解いてみましょう。

問題

次の不定積分を求めなさい
(1) ∮(x−1)(2x+1)dx
(2) ∮(3x+1)(3x−1)dx


(1) ∮(x−1)(2x+1)dx

まず、(x−1)(2x+1)を展開しましょう。

(x−1)(2x+1)=2x²−x−1より

∮(x−1)(2x+1)dx=∮(2x²−x−1)dx

次に、「∮{f(x)−g(x)}dx=∮f(x)dx−∮g(x)dx」を用いてこの式を分解していきます。分解せずにできる人は、そのまま計算しても問題ありませんが、慣れるまでは、次のようにしっかりと式をわけて考えることをお勧めします。

 ∮(2x²ーx−1)dx
=∮(2x²)dx−∮xdx−∮1dx

微分して2x²となるのは、
よって



微分してxとなるのは
よって



微分して1となるのはxなので、




以上のことから、


※不定積分の問題なので、最後に+Cを忘れないようにしましょう。


(2) ∮(3x+1)(3x−1)dx

ではもう1問。これも(1)と同様に、まず式を展開します。

∮(3x+1)(3x−1)dx= ∮(9x²−1)dx

同様に、「∮{f(x)−g(x)}dx=∮f(x)dx−∮g(x)dx」を用いてこの式を分解します。

∮(9x²−1)dx=∮9x²dx−∮1dx

微分して9x²となるのは3x³なので、
∮9x²dx=3x³

微分して1となるのはxなので、
∮1dx=x

以上のことから、
∮(3x+1)(3x−1)dx=3x³−x+C

※不定積分の問題なので、最後に+Cを忘れないようにしましょう。

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