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微分を使って接線の方程式を求める問題(接点の座標がわかっている)
著作名: ふぇるまー
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微分を用いて接線を求める

ここでは、微分を用いて接線の方程式を求める問題(接点の座標がわかっている場合)について解説していきます。文字で書いても「?」でしょうから、早速問題を使ってみていきましょう。

"y=x²"上の点(2、4)における接線の方程式を求めなさい。

グラフにすると次のようなイメージですね。
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いきなりこんな問題を出されてもわからなくて当然です。1つずつ、噛み砕いて説明していきましょう。

ポイント

まず、直線の方程式を求める公式を思い出しましょう。

傾きが2で、点(1、4)を通る直線の方程式を求めなさい。


y−4=2(x−1)
y=2x−2+4
y=2x+2

この問題と同じように、接線の方程式を求めるためには、直線の傾き接線上の点の座標が1つわかっていればよいことになります。

ここで思い出しましょう。



つまり、y=x²を微分して、x=2のときの微分係数を求めると、その値が接線の方程式の傾きとなるというわけです。

解答

y=x²を微分すると、

y'=2x ー①

①のx=2のときの微分係数は、

2×2=4

以上のことから求める接線は、傾きが4、点(2、4)でy=x²と接することとなります。

y−4=4(x−2)
y=4x−8+4
y=4x−4


これが求める接線の方程式です。
大切なことなのでもう1度書いておきます。



今回は、接線の方程式を求める問題の中でも、接点の座標が与えられている場合についてみてきました。次回は、接点の座標が与えられていない場合についてみていきます。


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