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導関数の公式の証明y=kf(x)−mg(x)を微分するとy'=kf'(x)−mg'(x)
著作名: ふぇるまー
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ここでは、次の導関数の性質について証明していきます。

kとmが定数のとき"y=kf(x)−mg(x)"の導関数は、
y'={kf(x)−mg(x)}'=kf'(x)−mg'(x)


"kf(x)=kx³"、"mg(x)=mx²"として、この関数を導関数の定義に従って微分してみましょう。

"y=kf(x)−mg(x)=kx³−mx²"なので、x+hを代入すると、

kf(x+h)−mg(x+h)
=k(x+h)³−m(x+h)²
=k(x³+3x²h+3xh²+h³)−m(x²+2xh+h²)
=kx³+3kx²h+3kxh²+kh³−mx²−2mxh−mh²
=kh³+h²(3kx−m)+h(3kx²−2mx)+kx³−mx²











極限値の計算方法より



"y=kf(x)"の導関数は"y'=kf'(x)"の公式より、"kf(x)"の導関数"kf'(x)"と"mg(x)"の導関数"mg'(x)"は次のようになります。

kf'(x)=k(x³)'=3kx²
mg'(x)=m(x²)'=2mx

つまり、先ほど求めた"y'"は、



以上のことから、kとmが定数のとき"y=kf(x)−mg(x)"の導関数は、
y'={kf(x)−mg(x)}'=kf'(x)−mg'(x)であるといえます。


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