manapedia
簡単な導関数の求め方・例題
著作名: ふぇるまー
65,510 views
マナペディア(manapedia)とは、中学校・高等学校で勉強する科目に特化した、マナビを共有し合う場です。たくさんのテキストの中からあなたにあったマナビを探したり、あなたが学習・勉強してきたマナビを形に残したりすることができます。テキストの内容に関しては、他の参考文献をご覧になり、ご自身の責任のもとご判断・ご利用頂きますようお願い致します。

導関数とは

ここでは、導関数(どうかんすう)についてみていきますが、まずは微分係数について思い出してみましょう。

微分係数は、次の公式を使って求めることができました。

y=f(x)について、"x=a"のときの微分係数は、




例えば、x=1のときの微分係数は、




x=−2のときの微分係数は、




と、ひとつひとつ求めて行くことになります。これって計算がすごい面倒くさいですよね。仮に、"x=1"や"x=−2"を代入すればぽーんと答えが導ける方法があったらどうですか。いいですよね。そのやり方を学ぶのが、この導関数の単元です。

微分係数を、値を代入するだけで簡単にくことができる関数、"導関数"についてみていきましょう。

導関数の求め方

値を代入しただけで微分係数を簡単に求めることができる関数を、導関数といいます。導関数を求めるために、次のことを頭にいれましょう。

指数を前にもってきて、次数を1つ下げる


具体的にみてみましょう。

"f(x)=x²"の導関数を求めなさい


"f(x)=x²"の導関数を求めてみます。まず、指数を前にもってきます。どういうことかというと、x²の指数"2"を、xの前にもってきます。

2x²

次に、次数を1つ下げます。2x²の次数は"2"なので、これを1つ下げて"1"にします。

2x

f(x)の導関数は"f'(x)"と表しますので、

f'(x)=2x ー①

これが"f(x)=x²"の導関数です。


"f(x)=x²"のx=1のときの微分係数は、①にx=1を代入して

"f'(1)=2"


"f(x)=x²"のx=−2のときの微分係数は、①にx=−2を代入して

"f'(−2)=−4"

と求めます。拍子抜けするぐらい簡単ですよね。
関数"f(x)"を微分して導関数"f'(x)"を求めると言います。
もう1問やってみましょう。

"f(x)=2x³"の導関数を求めなさい

続いて"f(x)=2x³"の導関数を求めてみます。まず、先ほどと同じように指数を前にもってきます。x³の指数"3"を、xの前にもってきます。

3×2x²=6x³

次に、次数を1つ下げます。6x³の次数は"3"なので、これを1つ下げて"2"にします。

6x²

f(x)の導関数は"f'(x)"と表しますので、

f'(x)=6x²

これが"f(x)=2x³"の導関数です。
前にもっていった指数と、最初からxの前についていた数をかけるというところがポイントですね。

"f(x)=−2x"の導関数を求めなさい

続いて"f(x)=−2x"の導関数を求めてみます。まず、先ほどと同じように指数を前にもってきます。xの指数は"1"なので、これをxの前にもってきます。

1×(−2)x=−2x

次に、次数を1つ下げます。−2xの次数は"1"なので、これを1つ下げて"0"にします。xの0乗は"1"なので、

−2

f(x)の導関数は"f'(x)"と表しますので、

f'(x)=−2

これが"f(x)=−2x"の導関数です。
この問題のように、指数が1の関数の導関数を求めると、"x"がなくなるというところがポイントですね。


"f(x)=4"の導関数を求めなさい

最後に"f(x)=4"の導関数を求めてみます。

この問題のように、記号のない関数の導関数は、必ず

f'(x)=0

となるので覚えておきましょう。



このテキストを評価してください。
役に立った
う~ん・・・
※テキストの内容に関しては、ご自身の責任のもとご判断頂きますようお願い致します。






数学II