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わかりやすい指数・累乗根の大小の比較[底をそろえることができる場合]
著作名: ふぇるまー
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指数の大小比較

"³√3"と"⁷√27"
の大きさを不等号を用いて表しなさい。


要するに。どちらが大きいか調べなさいという問題です。"指数の大小比較"と教科書では書いてありますが、この手の問題は、次の3ステップで簡単にとくことができます。

ステップ1

比較する数字の底をそろえる


「"底"」、どこのことを指していたか覚えていますか?
ルート記号の中の数字のことですね。("aⁿ"の形をしていれば、aのこと)

数字を比較するときには、この"底"をそろえることから始めましょう。ただし、底がそろわない場合もあります。そのようなときはこちら



なので、2つの数の底を"3"にそろえることができそうです。

"⁷√27=⁷√3³"

ステップ2

底をそろえた数を、"aⁿ"の形にする


底がそろったら、次はその数を"aⁿ"の形にします。





この変換のしかたがわからない人は、累乗根の公式を復習しておきましょう。

ステップ3

指数の大小を比べる


"aⁿ"の形に変形できたら、最後に指数の大小を比べます。





だったら、"1/3"と"3/7"の大きさの比較ですね。
このとき、1つ注意が必要です。

底"a"がa>1なら、指数の大小はそのまま数の大小となる。
底"a"が0<a<1なら、指数の大小と数の大小は逆となる。


これは、指数関数を含んだ不等式で学習したことですね。

今回は、底が3>1なので、指数の大小はそのまま数の大小となります。





より、"1/3"<"3/7"なので、



以上から、"³√3"<⁷√27"

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数学II