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底の変換公式の証明[対数]
著作名: ふぇるまー
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底の変換公式

ここでは、対数の分野で使う公式の1つ、底の変換公式の証明をしていきます。底の変換公式とは、

a、b、cが正の数でa≠1、b≠1、c≠1のとき


でしたね。

底の変換公式の証明



とおきます。このlogを含んだ式を指数の形にしてみましょう。



ここで、
 ー①

とおいて、cを底(c>0、c≠1)とするAの対数を考えてみましょう。
cは任意の数です。とりあえず自分の好きな数字と思ってもらって構いません。



①より

 ー②

対数の性質公式の証明"logaMⁿ=nlogaM"より、



このことから②式は、



 ー③

ここで、最初に



とおいたことを思い出しましょう。これにより③式は、



となり、公式が成り立つことがわかります。



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