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累乗根の公式の証明"(ⁿ√a) ×(ⁿ√b)=ⁿ√ab"
著作名: ふぇるまー
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累乗根の公式の証明

ここでは、累乗根の公式の中の次の公式を証明します。

a>0、b>0で、nが正の数のときの
"(ⁿ√a) ×(ⁿ√b)=ⁿ√ab"の証明


まず、

(ⁿ√a) ×(ⁿ√b)=x -①

とおいて、両辺をn乗します。

(ⁿ√a ⁿ√b)ⁿ=xⁿ

ここで、左辺の"(ⁿ√a ⁿ√b)ⁿ"に指数法則の"(ab)ⁿ=aⁿbⁿ"を用います。すると

(ⁿ√a ⁿ√b)ⁿ=(ⁿ√a)ⁿ (ⁿ√b)ⁿ=ab

"(ⁿ√a)"と"(ⁿ√b)"はそれぞれ、n乗するとa、bになる数を表していましたものね。ここがわからない人は、「累乗根とは何か」を読み返してみましょう。


ここまでの計算から、

ab=xⁿ

条件より、ab>0、x>0なので、

"x=ⁿ√ab" -②

①、②より

x=ⁿ√ab=(ⁿ√a) ×(ⁿ√b)

が成り立ちます。



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