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三角関数の不等式tan(θ−π/4)>1[角度の部分が複雑な不等式の計算問題]
著作名: ふぇるまー
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三角関数の不等式

0≦θ<2πで、次の不等式を満たすθの範囲を求めなさい。


角度の部分が複雑な三角関数の不等式の解き方をみていきましょう。

難しそうにみえますが、前回学習した"三角関数tan(θ−π/4)=1"と、"三角関数tanθを含む不等式の基本問題"を使って解くことができます。

解法へのポイント

()の中が複雑な不等式が出題されたら、()の中が複雑な三角関数の方程式と同じで、とにかく、()の中の角度をAと置き換えることを意識しましょう。


解答



()の中の"θ−π/4"を、"θ−π/4=A"と置き換えて考えてみます。すると



とスッキリし、簡単そうに見えますよね。
ここまできたらあとは三角関数の不等式を解くだけです。

その1

まず、与えられた不等式を方程式と考えて、式を満たすθの値を求めます。



0≦θ<2πなので、


この範囲で、与えられた方程式を満たすAの値は次の2つです。




その2

次に求めた点を図に描きます。
不等式は">"なので、点を"○"でかくことを忘れないようにしましょう。

ALT


その3

次に、tanAがどこを表しているのかを思い出しましょう。



なので、図に示した点が"1"よりも大きくなるAの範囲を求めます。

ALT


ここがわからない人は、三角関数tanθを含む不等式の基本問題の「解答への近道」を読んで確認してください。

ALT


赤線で示したところが、

を満たすAの範囲です。




※π/2、3π/2のときtanAの値は存在しないことに注視しましょう。

θの範囲を求める


今求めたのはAの範囲なので、最後にθの範囲を求めましょう。



なので、この範囲を満たすθは




となります。

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