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三角関数tanθを含む不等式の基本問題
著作名: ふぇるまー
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三角関数の不等式

0≦θ<2πのとき、次の不等式を満たすθの範囲を求めなさい。


解答への近道

三角関数の不等式を解く前に、単位円上でtanθがどこの点を表すのかを復習しておきましょう。この話が理解できていれば、三角関数の不等式は簡単に解くことができます。

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図のように、半径1の単位円上に点(x,y)を設けます。
このとき、

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この図においてtanθは、図示した点を表していましたね。
この点のy座標をpとすると、tanθの値は



なので、実質この点のy座標がtanθの値と等しいことになります。
つまり



は、図示した点のy座標の値が"−1"以下となるθの範囲を求めなさいということと同じ意味であることを理解しましょう。

解答

まず、与えられた不等式を方程式と考えて、式を満たすθの値を求めます。



としたとき、この式を満たすθの値は、




次に、求めた点を図に描きます。
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ここで注意したいのは、図に赤文字で書いてある点です。



の不等式では、"≦"(イコールを含む)ので、点を●にします。これが"<"(イコールを含まない)のときは、点を白抜きの○にします。



なので、図示した点のy座標が"−1"以下となるθの値を求めます。

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斜線をひいた部分が、条件を満たす箇所です。
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tanθの範囲を求めるときに、1つ注意しなければならないことがあります。"0≦θ<2π"の範囲では、"θ=π/2、3/2 π"のときにtanθの値が存在しないという点です。つまり、図示してあるように、"θ=π/2、3/2 π"は答えに含めてはいけません。
この範囲を式で表すと、



これが答えです。

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