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領域と最大値最小値[2本の直線ver.]
著作名: ふぇるまー
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領域と最大値・最小値

点(x,y)が次の不等式の表す領域内を動くとき、"x+y"の最大値と最小値を求めなさい。
x≧0
y≧0
2x+y−10≦0
x+2y−10≦0


まずは与えられた不等式の領域を図示してみましょう。
連立不等式の表す領域より、

ALT


境界線を含みます

グレーのかかった部分が不等式の表す領域です。
点(x,y)はこの領域の中にあるわけですが、このタイプの問題は解き方が決まっているので、解法を覚えるようにしましょう。

まず、"x+y=k"とおきます。「kの最大値と最小値を求める」と考え方を改めましょう。

次に、"x+y=k"を変形して"y=−x+k"とします。このときkはy切片となりますね。先ほど図示した領域に、傾きが−1の直線をかぶせて、その直線のy切片が最大となる点、最小となる点を求めてみます。

ALT


すると、"2x+y−10=0"と"x+2y−10=0"の交点(3,4)を通るときにkの値は最大となり、原点(0,0)を通るときに最小となることがわかります。

"x+y=k"なので、kが最大ということはつまりx+yが最大に、kが最小ということはx+yが最小になるのと同じことですね。

直線"y=−x+k"が(3,4)を通るとき、k=7(最大値)
直線"y=−x+k"が(0,0)を通るとき、k=0(最小値)

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