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3つの点を通る円の方程式を求める計算問題
著作名: ふぇるまー
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3点を通る円の方程式

3点(1,0)、(−1,−2)、(3,−2)を通る円の方程式を求めてみましょう。


円の方程式について考える前に、2点を通る直線の方程式をどうやって求めたかを思い出してみましょう。

例えば2点(1,3)と(2,5)を通る直線の方程式を求める場合。
求める方程式を"y=ax+b"とおいて、この基本の式に"x=1、y=3"と"x=2、y=5"を代入して定数aとbの値を求めましたね。

円の方程式を求めるときもこの考え方は同じです。

ステップ1

求める円の方程式は"x²+y²+lx+my+n=0"

まず求める円の方程式を、円の基本式である"x²+y²+lx+my+n=0"とおきます。

ステップ2

3点の値を代入する

この円は3点(1,0)、(−1,−2)、(3,−2)を通るので、

・"x=1、y=0"
・"x=−1、y=−2"
・"x=3、y=−2"

を"x²+y²+lx+my+n=0"に代入します。

"x=1、y=0"のとき

1+0+l+0+n=0
l+n=−1 ー①


"x=−1、y=−2"のとき

1+4−l−2m+n=0
l+2m−n=5 ー②

"x=3、y=−2"のとき

9+4+3l−2m+n=0
3l−2m+n=−13 ー③


②+③より
4l=−8
l=−2

これを①に代入して、
−2+n=−1
n=1

l=−2、n=1を②に代入をして

−2+2m−1=5
2m=8
m=4

以上から、求める円の方程式は"x²+y²−2x+4y+1=0"とわかりました。これが正しいか確認するためには、3点の値を式に代入して、式が成り立つかをチェックすればOKです。


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