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垂心の証明[座標を用いた図形の性質の証明]
著作名: ふぇるまー
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垂心の証明

2直線が垂直に交わるときの条件を用いて、垂心の証明をしてみましょう。

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図のように、座標上にある三角形ABCの頂点から各辺に垂線をおろし、辺との交点をそれぞれP、Q、Rとします。このときAP、BQ、CRが1点で交わることを証明しなさい。


つまり、△ABCの垂心を証明しなさいということですね。

証明

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※わかりやすくするために、AからBCにおろした垂線が、y軸とかぶるような三角形をモデルに作図してあります。

A、B、Cの座標をそれぞれA(0,a)、B(b,0)、C(c,0)とします。
(a≠0、b≠0、c≠0)

ABとRCに着目

ABの傾きは、



ここでRCの傾きをm₁としたとき、ABとRCは垂直に交わることから、





またRCは点C(c,0)を通るので、傾きとあわせて、直線の方程式を求めます。




CAとBQに着目

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CAの傾きは、

 ー①

ここでBQの傾きをm₂としたとき、CAとBQは垂直に交わることから、





またRCは点B(b,0)を通るので、傾きとあわせて、直線の方程式を求めます。

 −②


①と②より、RCとBQは



切片とする直線であることがわかりました。つまりこの点で①と②は交わることになります。そしてこの点はもちろんy軸上の点なので、APもまたこの点を通ります。

以上から、AP、BQ、CRが1点で交わることが証明できました。


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