manapedia
内分点の公式とその証明[数直線上]
著作名: ふぇるまー
26,109 views
マナペディア(manapedia)とは、中学校・高等学校で勉強する科目に特化した、マナビを共有し合う場です。たくさんのテキストの中からあなたにあったマナビを探したり、あなたが学習・勉強してきたマナビを形に残したりすることができます。テキストの内容に関しては、他の参考文献をご覧になり、ご自身の責任のもとご判断・ご利用頂きますようお願い致します。

内分点とは

ALT


mとnを異なる正の数とします。
図のように、線分AB上に点Pがあり、"AP:PB=m:n"となるとき、

点Pは、線分ABをm:nに内分する


といいます。そして点Pのことを、内分点といいます。

内分点の座標を求める公式

ALT


数直線上の2つの点を、"A(a)、B(b)"とし、ABを"m:n"に内分する点を"P(x)"としたとき、xの値を求める公式があります。



例えば、A(1)、B(6)で、線分ABを1:4に内分する点をP(x)とすると、



"x=5"となります。実際に数直線をかいてみると

ALT


APの長さは、2−1=1
BPの長さは、6−2=4

"AP:PB=1:4"となりますね。

公式の証明

では、この公式の証明をしていきましょう。



公式の証明には、次の2パターンを考えていきます。

・BがAよりも大きい場合(a<b)
・AがBよりも大きい場合(a>b)

BがAよりも大きい場合(a<b)

"a<b"ということは、数直線上の点"A、B、P"の位置関係は図のようになります。
ALT


APの長さは、AP=x−a
PBの長さは、PB=b−x

AP:PB=m:nなので、

x−a:b−x=m:n
n(x−a)=m(b−x)
nx−na=mb−mx
mx+nx=na+mb
x(m+n)=na+mb



AがBよりも大きい場合(a>b)

"a>b"ということは、数直線上の点"A、B、P"の位置関係は図のようになります。
ALT


APの長さは、AP=a−x
PBの長さは、PB=x−b

AP:PB=m:nなので、

a−x:x−b=m:n
n(a−x)=m(x−b)
na−nx=mx−mb
mx+nx=na+mb
x(m+n)=na+mb



中点の座標



において"m=n"つまり"m:n=1:1"のとき、点Pは線分ABを1:1に2分する点となるので、線分ABの中点といえます。このときの点Pの座標は(m=n=1を代入して)



で求めることができます。


このテキストを評価してください。
役に立った
う~ん・・・
※テキストの内容に関しては、ご自身の責任のもとご判断頂きますようお願い致します。






数学II