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[正四面体]空間図形に含まれる三角形の面積を求める問題
著作名: ふぇるまー
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正四面体に含まれる三角形の面積を求める問題

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図のように、正四面体ABCDにおいて、辺CDの中点を"M"とします。またAからBMに垂線をおろし、その交点を"H"とします。"∠AMB=θ"、"AB=a"とするとき、次の値を求めなさい。

(1) cosθ
(2) cosABM
(3) AH
(4) △ABMの面積S


(1) cosθ

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cosθを求めるために、△ABMに余弦定理を適用できないかを考えます。ABCDが正四面体であることから、△BCDと△ACDは正三角形なので、

・BC=AC=a
・∠BCM=∠ACM=60°

これを用いると、AMとDMの長さを求めることができそうですね。この2つの値が求まれば△ABMに余弦定理を適用できそうなので、AMとBMの長さを求めるところから始めましょう。

△ACMは、∠AMC=90°とする直角三角形なので、



CA=a、∠ACM=60°より、




正三角形BCDにおいてMはCDの中点であることから、∠BMC=90°。
このことから△BCMにおいても△ACMと同様にして、




△ABMに余弦定理を適用します。
"AB²=AM²+BM²−2・AM・BM・cosθ"より








よって




(2) cosABM

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(1)で求めた値をもとに、△ABMにおいて∠ABMに注目をして余弦定理を適用します。

"AM²=AB²+BM²−2・AB・BM・cosABM"より








よって




(3) AH

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△AMHは、∠AHM=90°とする直角三角形なので、



変形すると、"AH=AM・sinθ" ー①

(1)より、



また、



なので、sin²A+cosA²=1"の公式より、


0°<θ<180°の範囲で"sinθ>0"なので



これらを①に代入すると、




(4) △ABMの面積S

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(1)と(3)より、△ABMの底辺と高さがわかりました。



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