manapedia
空間図形に含まれる三角形の面積を求める問題[直方体]
著作名: ふぇるまー
13,090 views
マナペディア(manapedia)とは、中学校・高等学校で勉強する科目に特化した、マナビを共有し合う場です。たくさんのテキストの中からあなたにあったマナビを探したり、あなたが学習・勉強してきたマナビを形に残したりすることができます。テキストの内容に関しては、他の参考文献をご覧になり、ご自身の責任のもとご判断・ご利用頂きますようお願い致します。

空間図形に含まれる三角形の面積


ALT

図のような直方体があるとき、AB=2、AD=3、AE=1とする。△AFCで切り取ったとき、この△AFCの面積Sを求めなさい。


まず△AFCで切り取るとどのような三角形になるのか図示してみましょう。

ALT


「げっ!」と焦る必要はありません。三角形の面積を求めるために、今まではどのように問題を解いていたでしょうか。

底辺×高さ÷2






いろいろありますね。ここでは、与えられた条件から、「サインを使って三角形の面積を求める公式」を使うのがよさそうです。

では、この公式を△AFCに適用するには、どのような数値が必要かを考えましょう。
△AFCの3辺の長さは求めることができるので、余弦定理を用いて、cosCAF、cosACF、cosAFCのいずれかを求めることができそうですね。そこから、sin²A+cosA²=1"の公式を用いてsinの値を求めることもできそうです。

AC、AF、FCの長さ

ALT

ではまず、AC、AF、FCの長さを求めます。

△ACDに三平方の定理を使うと、

AC ²=AD ²+CD ²=9+4=13
AC=√13

同様にして、AF=√5、CF=√10


続いて△AFCに、余弦定理を用います。今回は、∠CAFに注目をして解いてみます。

"CF²=AC²+AF²−2・AC・AF・cosCAF"より、



これを整理すると



次に、sin²A+cosA²=1"の公式を用いて



0°<∠CAF<180°の範囲では"sinCAF>0"なので、



ALT

以上の計算から、△AFCのAFとACの長さ、そしてsinCAFの値がわかったので、サインを使って三角形の面積を求める公式より、




このテキストを評価してください。
役に立った
う~ん・・・
※テキストの内容に関しては、ご自身の責任のもとご判断頂きますようお願い致します。






数学I