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三角形の内接円の半径を求める練習問題
著作名: ふぇるまー
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三角形の内接円の半径を求める

AB=3、BC=5、CA=7の三角形ABCに内接する円の半径rの値を求めなさい。


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与えられた条件で図をイメージしてかくとこのようになります。
(※あくまでもイメージで、この角の割合が正しいかはわかりません。)

AB、BC、CAの長さがわかっているので、余弦定理sin²A+cosA²=1"の公式、サインを使って三角形の面積を求める公式を用いて△ABCの面積を求めることができます。


また、内接円をもつ三角形の面積を求める公式



を用いても三角形の面積を求めることができるので、この2つをすり合わせて"r"を求めていきます。


△ABCにおいて、∠Bに注目をして余弦定理を用いると、

7²=3²+5²-2・3・5・cosB
49=9+25-30cosB

これを整理すると


続いてsin²A+cosA²=1"より






0°<B<180°の範囲では、"sinB>0"なので




最後に、サインを使って三角形の面積を求める公式より




一方で、内接円をもつ三角形の面積を求める公式より




いま求めた2つの面積は同じ大きさであることから







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