manapedia
正弦定理と余弦定理を使った練習問題一覧
著作名: ふぇるまー
20,812 views
マナペディア(manapedia)とは、中学校・高等学校で勉強する科目に特化した、マナビを共有し合う場です。たくさんのテキストの中からあなたにあったマナビを探したり、あなたが学習・勉強してきたマナビを形に残したりすることができます。テキストの内容に関しては、他の参考文献をご覧になり、ご自身の責任のもとご判断・ご利用頂きますようお願い致します。

正弦定理と余弦定理を使った問題

正弦定理余弦定理を両方使って、三角形の角度の大きさや辺の長さを求める問題を解説していきます。随時更新予定です。

問題1

△ABCにおいて、"a=1+√3、b=2、∠C=60°"のとき、cの長さと∠A、∠Bの大きさを求めなさい。


ALT


与えられた条件で図をイメージしてかくとこのようになります。
(※あくまでもイメージで、この角の割合が正しいかはわかりません。)

cの長さ

△ABCに余弦定理を用います。

"c²=a²+b²−2ab・cosC"より

c²=(1+√3)²+2²−2・2・(1+√3)・cos60°

c²=4+2√3+4−4(1+√3)・1/2

c²=8+2√3−2−2√3

c²=6

cは三角形の辺の長さなので"c>0"だから

c=√6

∠A、∠Bの大きさ

次に△ABCに正弦定理を用います。



に与えられた値を代入していきます。







よってBは"45°"または"135°"と予想ができます。
ここで、△ABCの3辺の大小関係についてみてみましょう。

"a=1+√3、b=2、c=√6"なので、"b<c<a"ですね。
このことから"∠B<∠C<∠A"であることがわかります。

つまり、∠Bの大きさは∠Cよりも大きくなることはありません。
(∠Cの大きさは設問より60°)

先ほどBは"45°"または"135°"と求まりましたが、このことによって"∠B=45°"となります。

残りは∠Aの大きさですね。

∠A=180°ー(45°+60°)=105°


以上から、"c=√6、∠A=105°、∠B=45°"


このテキストを評価してください。
役に立った
う~ん・・・
※テキストの内容に関しては、ご自身の責任のもとご判断頂きますようお願い致します。






数学I