manapedia
[公式]正弦定理とその証明
著作名: ふぇるまー
42,496 views
マナペディア(manapedia)とは、中学校・高等学校で勉強する科目に特化した、マナビを共有し合う場です。たくさんのテキストの中からあなたにあったマナビを探したり、あなたが学習・勉強してきたマナビを形に残したりすることができます。テキストの内容に関しては、他の参考文献をご覧になり、ご自身の責任のもとご判断・ご利用頂きますようお願い致します。

正弦定理とは

ALT

△ABCの外接円の半径をRとしたとき、次の定理が成り立ちます。



正弦(つまりサイン)を使った定理なので、正弦定理といいます。
ではこの正弦定理が本当に成り立つか証明してみましょう。

正弦定理の証明

正弦定理を証明するためには、次の3パターンを考える必要があります。

・∠Aが鋭角の場合
・∠Aが直角の場合
・∠Aが鈍角の場合

∠Aが鋭角の場合

∠Aが鋭角の△ABCとその外接円の関係図は、次のようになります。
"BC=a"、"∠BAC=∠A"、外接円の半径を"R"としましょう。

ALT


この三角形で正弦定理を証明するために、補助線を引きます。
点Bから、外接円の中心を通る直線BD(つまり円の直径)を引きます。

ALT


※円の直径というのがミソです。
直径なので、"BD=2R"となりますね。

このとき、円周角の性質により、
∠A=∠BDC ー①


また△BCDにおいて、BDは円の直径なことから
BD=2R ー②
∠BCD=90°(直径と円周角の関係)

以上のことから、△BCDにサインを適応すると



①を使って整理すると



よって∠AとsinAを用いた正弦定理が成り立つことがわかりました。
∠Bと∠Cでの場合は、今やったことと同じことをやれば証明ができるので省略します。


∠Aが直角の場合

∠Aが直角の△ABCとその外接円の関係図は、次のようになります。
"BC=a"、"∠BAC=∠A"、外接円の半径を"R"としましょう。

ALT


∠Aが直角のとき△ABCの辺BCは、△ABCの外接円の直径となるので(直径と円周角関係の逆)

a=2R ー①

△ABCにおいて、"∠A=90°"なので
sinA=sin90°=1 ー②


①の両辺に"sinA"をかけてみましょう。

a sinA=2R sinA

②より"sinA=sin90°=1"なので

a=2R sinA

※左辺のsinAだけ1におきかえました。
これを変形すると、



よって∠AとsinAを用いた正弦定理が成り立つことがわかりました。
∠Bと∠Cでの場合は、今やったことと同じことをやれば証明ができるので省略します。


∠Aが鈍角の場合

∠Aが鋭角の△ABCとその外接円の関係図は、次のようになります。
"BC=a"、"∠BAC=∠A"、外接円の半径を"R"としましょう。

ALT


この三角形で正弦定理を証明するために、補助線を引きます。
点Bから、外接円の中心を通る直線BE(つまり円の直径)を引きます。

ALT


このとき、"BE=2R"といえますね。

四角形ABECは円に内接しているので、外接円をもつ四角形の性質により

∠A+∠BEC=180°

整理して、∠BEC=180°−∠A ー①

△BCEにおいて直径と円周角の関係により"∠BCE=90°"なので、この三角形にサインを適応すると




①より"∠BEC=180°−∠A"なので、

sin BEC=sin(180°−A)=sinA
180°−Aの三角比より

これを使って整理すると


よって∠AとsinAを用いた正弦定理が成り立つことがわかりました。
∠Bと∠Cでの場合は、今やったことと同じことをやれば証明ができるので省略します。


このテキストを評価してください。
役に立った
う~ん・・・
※テキストの内容に関しては、ご自身の責任のもとご判断頂きますようお願い致します。






数学I