manapedia
相加平均と相乗平均を用いた不等式の証明問題一覧
著作名: ふぇるまー
49,055 views
マナペディア(manapedia)とは、中学校・高等学校で勉強する科目に特化した、マナビを共有し合う場です。たくさんのテキストの中からあなたにあったマナビを探したり、あなたが学習・勉強してきたマナビを形に残したりすることができます。テキストの内容に関しては、他の参考文献をご覧になり、ご自身の責任のもとご判断・ご利用頂きますようお願い致します。

相加平均と相乗平均を用いた不等式の証明

相加平均と相乗平均の関係を使って、不等式の証明を行ってみましょう。

練習問題

問題1

a>0、b>0のとき、次の等式を証明しなさい。また等号が成り立つのはどのようなときか答えなさい。



相加平均と相乗平均の関係は、a>0、b>0のとき



でした。これを変形すると



となります。
ここで、"a"を設問の"a"、"b"を設問の"16/a"に置き換えると



右辺を整理します。


以上の計算をまとめると



が成り立つことがわかります。

次にこの不等式の等号が成り立つのは、"左辺−右辺=0"のときなので



左辺を整理すると
a²−8a+16=0
(a−4)²=0
a=4

以上から、"a=4"のときに等号が成り立ちます。

問題2

x>0、y>0のとき、次の等式を証明しなさい。また等号が成り立つのはどのようなときか答えなさい。



この手の問題には決まった解き方があるのでそれを覚えておけばOKです。
まず、左辺を展開します。



つまりもとの式は次のように変形できます。



この式を①としましょう。設問の不等式を証明することは①を証明するのと同じことですね。
次に、"y/x"と"16x/y"を相加平均と相乗平均の関係の式にあてはめます。



右辺を整理すると




ここで求まった式の両辺に17を加えます。すると



見事に①式が成り立つことが証明されましたね。

また、この不等式の等号が成り立つのは、①の"左辺−右辺=0"のときなので



左辺を整理すると
y²+16x²−8xy=0
(y−4x)²=0

以上から、"y=4x"のときに等号が成り立ちます。


このテキストを評価してください。
役に立った
う~ん・・・
※テキストの内容に関しては、ご自身の責任のもとご判断頂きますようお願い致します。






数学II