manapedia
相加平均と相乗平均の関係とその証明
著作名: ふぇるまー
36,012 views
マナペディア(manapedia)とは、中学校・高等学校で勉強する科目に特化した、マナビを共有し合う場です。たくさんのテキストの中からあなたにあったマナビを探したり、あなたが学習・勉強してきたマナビを形に残したりすることができます。テキストの内容に関しては、他の参考文献をご覧になり、ご自身の責任のもとご判断・ご利用頂きますようお願い致します。

相加平均と相乗平均

2つの実数aとbがあるとき、この2つの数の平均を求めてみましょう。
平均といえば「足して2で割る」でしたね。



このことを数学Ⅱ以降では、相加平均(そうかへいきん)といいます。2つ()を足して()求める平均です。

実は平均の求め方にはもう1つあります。a>0,b>0のとき、「かけてその数にルートをつける」方法で求めます。



この方法で求めた平均のことを、相乗平均(そうじょうへいきん)といいます。2つ()をかけて()求める平均です。

相加平均と相乗平均の関係

a>0,b>0のとき、相加平均と相乗平均には、次のような関係があります。


※等号が成り立つのはa=bのとき


証明

ではこの関係を証明してみましょう。
左辺−右辺をします。







2乗は必ず0以上になるので、


となります。以上から、"左辺−右辺≧0"なので、与えられた不等式が成り立つことがわかりました。

また、この不等式において等号が成り立つのは、



の等号が成り立つときに等しいので、

"√a−√b=0"

つまり、"√a=√b"
すなわち"a=b"のときに等号が成り立ちます。


このテキストを評価してください。
役に立った
う~ん・・・
※テキストの内容に関しては、ご自身の責任のもとご判断頂きますようお願い致します。






数学II