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2乗(平方)の項が入った不等式の証明
著作名: ふぇるまー
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2乗の項が入った不等式の証明

ここでは、2乗の項が含まれた不等式の証明についてみていきます。

問題1

実数xとyがあるとき、"x²+y²≧2xy"を証明しなさい。
また、等号が成り立つのはどのような場合かも答えなさい。


式に2乗の項が入っていても、不等式を証明するためにやることは同じです。
不等式"A>B"を証明するためには、

1:Aを変形させてA>Bとなるか、またはBを変形させてA>Bとなるかを確認する

2:Aを変形させたものと、Bを変形させたものを比べてA>Bとなるかを確認する

3:"A−B>0"、または"B−A<0"となるかを確認する


この3つのいずれかを行います。
証明の方法がわかったところで、先ほどの問題に取り組んでみましょう。

ここでは、"左辺−右辺≧0"となるかを確認してみます。

左辺−右辺=x²+y²−2xy=(xーy)²

xとyは実数なので、(x−y)もつねに実数です。そして実数の2乗はつねに0以上なので、

(xーy)²≧0

が成り立つことがわかります。
以上から"左辺−右辺≧0"なので、与えられた不等式"x²+y²≧2xy"が成り立つことがわかりました。

次に、この不等式の等号が成り立つときを調べるためには、"(xーy)²≧0"に着目をします。

(xーy)²=0

のとき等号が成り立つので、これを満たすxとyの関係を考えます。
そう、"x=y"のときに等号が成り立ちます

問題2

実数xとyがあるとき、"x²+y²≧xy"を証明しなさい。
また、等号が成り立つのはどのような場合かも答えなさい。


先ほどは"左辺−右辺"をすると、"左辺−右辺"がうまく因数分解できる問題でした。今度は因数分解がうまくいかない場合をみてみましょう。

"右辺−左辺≧0"となるかで不等式の証明を行います。

右辺−左辺=x²+y²−xy

うまく因数分解できませんね。。。こういうときは無理矢理・・・





無理矢理2乗の形を作ってしまいます。
このとき、"(x−y/2)²≧0、3/4 y²≧0"なので

"(x−y/2)²+3/4 y²≧0"

となります。以上から"左辺−右辺≧0"なので、与えられた不等式"x²+y²≧xy"が成り立つことがわかりました。

次に、この不等式の等号が成り立つときを調べるためには、"(x−y/2)²+3/4 y²≧0"に着目をします。

(x−y/2)²+3/4 y²=0

のとき等号が成り立つので、これを満たすxとyの関係を考えます。

・(x−y/2)²=0
・3/4 y²=0


この方程式を解くと、"x=y=0"のときに等号が成り立ちます



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