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不等式の証明[不等式の基本性質]
著作名: ふぇるまー
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不等式の証明

「"a+b+cx+y+z"を証明せよ」というのが等式の証明でしたが、今度は「"a+b+cx+y+z"を証明せよ」という不等式の証明についてみていきます。

不等式の基本性質

不等式の証明を行う前に、数学Ⅰで学習した高校数学Ⅰで使う不等式の基本性質について復習しておきましょう。

1:a>b、b>c → a>c
2:a>b → a+c>b+c、a-c>b-c
3:a>b,c>0 → ac>bc、a/c>b/c
4:a>b,c<0 → ac<bc、a/c<b/c


この基本性質から、次のことがいえます。

a>0、b>0 → a+b>0、ab>0
a<0、b<0 → a+b<0、ab<0
a>b ⇄ a-b>0
a<b ⇄ a-b<0


※これらは覚える必要はありませんが、いざというときに導けるようにしておきましょう。例えば「a>0、b>0→a+b>0、ab>0」は、"a=1、b=2"と仮定すると簡単に導く事ができると思います。

練習問題1

"m>1、n>1"のとき、次の不等式を証明しなさい。
mn+1>m+n


等式の証明のときは、等号が成り立つかを証明しましたが、不等式の証明では、不等号が成り立つかを証明します。

この問題の場合、"左辺−右辺>0"が成り立つかを確認してみましょう。


左辺−右辺より
 mn+1−(m+n)
=mn+1−m−n
=mn−m−n+1
=m(n−1)−(n−1)
=(m−1)(n−1)

条件より"m>1、n>1"なのでこれを変形すると、"m−1>0、n−1>0"となります。このことから

(m−1)(n−1)>0

となるのは明らかです。
(※正の数×正の数は必ず0より大きくなりますからね)

以上より、左辺−右辺>0となるので不等式が成り立つことが証明されました。


練習問題2

"a>d、b>c"のとき、次の不等式が成り立つことを証明しなさい。
ab+cd>ac+bd


これも、「左辺−右辺>0」となるかで確認してみましょう。

左辺−右辺より
 ab+cd−(ac+bd)
=ab+cd−ac−bd
=a(b−c)−d(b−c)
=(a−d)(b−c)

条件の"a>d、b>c"を変形すると、"a−d>0、b−c>0"となります。このことから、

(a−d)(b−c)>

となるのは明らかです。
以上より、左辺−右辺>0となるので不等式が成り立つことが証明されました。


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