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高次方程式の解と係数の関係(虚数解を含む場合)
著作名: ふぇるまー
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高次方程式の解と係数の関係

前回のテキストでは、解が実数のときの高次方程式の求め方をみました。今回は、「解に虚数が含まれているときに高次方程式を求める方法」についてみていきます。


3次方程式"x³−ax²+bx−6=0"が、"x=1+i"を解にもつとき、実数aとbの値と、3次方程式の残りの解を求めてみよう。


実数aとbの値を求める

考え方は実数のときと同じで、"x=1+i"を式に代入します。

(1+i)³−a(1+i)²+b(1+i)−6=0
2i−2−2ai+b+bi−6=0

iがつくものとつかないものとに整理します。

−2+b−6+2i−2ai+bi=0
−2+b−6+(2−2a+b)i=0

設問より、aとbは実数なので、"−2+b−6"も"(2−2a+b)"も実数となります。さぁ、ここで思い出しましょう。

aとbが実数のとき、
a+bi=0ならば、a=0、b=0

複素数の相等を参照。

これを利用すると

・−2+b−6=0
・2−2a+b=0

という2つの式がたちます。これを解くと、"a=5、b=8"が求まります。

3次方程式の解を求める

続いてこの方程式の解を求めていきます。

先ほどaとbの値を求めたので、もとの式は"x³−5x²+8x−6=0"となります。

"P(x)=x³−5x²+8x−6"としたとき、x=3のときに

P(3)=3³−5・3²+8・3−6=0

となるので、この方程式の左辺は、"(x−3)"を因数にもつことがわかります。(ここがわからない人は、因数定理を用いた因数分解を復習しておきましょう)

x³−5x²+8x−6=(x−3)(x²−2x+2)=0

※"x²−2x+2"は、"(x³−5x²+8x−6)÷(x−3)"で求めます。

あとは"(x−3)(x²−2x+2)=0"を解くだけですね。
この式を満たすxの値は、

・x−3=0
・x²−2x+2=0

を解くことで求まります。

x−3=0

x−3より、x=3

x²−2x+2=0

解の公式より、x=1±i


設問では残りの解を求めよとなっていたので、"x=3、1−i"が答えとなります。


共役な複素数

今の問題をもう少し掘り下げてみましょう。

"x³−5x²+8x−6=0"の解は、"x=3、1±i"でした。ここで注目したいのは"1±i"です。

"1+i"と"1−i"、これらは共役な複素数ですね。今回の問題のように、係数が実数である方程式が虚数解"a+bi"をもつとき、その共役な複素数である"a−bi"もまた方程式の解となることを覚えておきましょう。

これを利用すると、「"1+i"を解にもつ」と出題された場合、即座に「もう1つの解は"1−i"だな」と求める事ができます。



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