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剰余の定理の証明[整式P(x)をax+bで割ったときの余りの求め方]
著作名: ふぇるまー
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剰余の定理

整式P(x)を、"x−a"で割ったときの余りRは、「R=P(a)」で求める事ができましたね。では、P(x)を"ax+b"で割ったときの余りはどのように求めればよいでしょうか?



答えは、"P(−b/a)"となるのですが、ここではそれを証明してみましょう。

証明

整式P(x)を"ax+b"で割ったときの余りが"P(−b/a)"となることを証明しなさい。


まず、整式P(x)を"ax+b"で割ったときの商をQ(x)、余りをRとします。すると

P(x)=Q(x) (ax+b)+R

と表せますね。この式において、"x=−b/a"のとき






以上のことから、整式P(x)を"ax+b"で割ったときの余りRは、"R=P(−b/a)"となることがわかりますね。

練習問題

次の式を( )内の式で割ったときの余りを求めてみましょう。
(1) 8x³+4x²−2x+3 (2x+1)
(2) 8x³−4x−2x+3  (2x−1)


(1) 8x³+4x²−2x+3 (2x+1)

P(x)=8x³+4x²−2x+3とします。剰余の定理より、P(x)を"2x+1"で割ったときの余りRは、"R=P(−1/2)"となります。




以上より、余りは4です。

(2) 8x³−4x−2x+3  (2x−1)

P(x)=8x³−4x−2x+3とします。剰余の定理より、P(x)を"2x−1"で割ったときの余りRは、"R=P(1/2)"となります。




以上より、余りは2です。

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