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解と係数の関係を用いた練習問題[虚数解をもつ2次方程式ver.]
著作名: ふぇるまー
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解と係数の関係

2次方程式"ax²+bx+c=0"の2つの解を"α"と"β"としたとき、



というのが解と係数の関係でした。
ここでは、練習問題を通してこの関係の使い方をみていきましょう。

練習問題

2次方程式"2x²+3x+4=0"の2つの解をαとβとしたとき、次の式の値を求めなさい。
(1) (α+β)²
(2) α³+β³


(1) (α+β)²

計算を始める前に、解と係数の関係から、"α+β","αβ"の値を求めておきましょう。




"(α+β)²"は、いま求めたものを代入するだけで計算できますね。




(2) α³+β³

3次の展開の公式より

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

なので

"α³+β³=(α+β)³−3α²β−3αβ²=(α+β)³−3αβ(α+β)"

これに先ほど求めた値を代入する。









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