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90°+θの三角比[公式の証明]
著作名: ふぇるまー
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90°+θの三角比の公式の証明

θが0°≦θ≦90°のとき、次の公式が成り立ちます。





これらの公式を証明していきましょう。
証明

まず、次の図を用意します。

ALT


この図がどこから出てくるのかといわれると困るのですが、そういうものだと思って記憶してください。


△OACと△OBDは合同な三角形で、"∠AOC=∠BOD=θ"とします。
このとき、"∠BOC=90°+θ"と表すことができますが、説明をしやすくするために、"90°+θ=θ'"とします。

また、△OACと△OBDが合同であることから、点Aの座標をA(x,y)とすると、点Bの座標はB(−y,x)となることも頭にいれておきましょう。

sin(90°+θ)

ALT

∠BOC(θ')に着目したときに
sinθ'=x

また、∠AOC(θ)に着目したときに
cosθ=x

このことから、
sinθ'=cosθ

"90°+θ=θ'"なので
sin(90°+θ)=cosθ

が求まります。

cos(90°+θ)

ALT

∠BOC(θ')に着目したときに
cosθ'=−y

また、∠AOC(θ)に着目したときに
sinθ=y

このことから、
cosθ'=−sinθ

"90°+θ=θ'"なので
cos(90°+θ)=−sinθ

が求まります。

tan(90°+θ)

ALT

∠BOC(θ')に着目したときに


また、∠AOC(θ)に着目したときに


このことから



以上のことから、90°+θの三角比の3つの公式が証明できました。

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