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楕円の方程式の証明
著作名: OKボーイ
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楕円の方程式

平面上の2つの点FとF'からの距離の和が一定である点Pの軌跡を楕円と言い、この2つの点FとF'のことを楕円の焦点と言います。
ALT

上の図のように、2つの点F(c,0)とF'(-c,0)を焦点とし、y軸との交点の座標をB(o,b)とします。このとき、焦点からの距離の和が2aである楕円の方程式と焦点の座標は次のように表せます。

 (ただしa>b>0)


楕円の方程式の証明

これを証明してみましょう。まず、次のような図を考えます。
ALT



条件よりPF+PF'=2a ・・・①




よって①は次のように変形できます。


これを変形して


両辺を2乗して整理していきます。






ここでまた両辺を2乗して整理します。




 ・・・②

a>cより  とおくと、
a>b>0より なので②式は

両辺をで割ると

であることが求まります。

焦点の座標の証明

先ほどの証明で、  とおきました。
これを変形して、 
a>b>0より
 ・・・③

2つの焦点はF(c,0)とF'(-c,0)とおかれていたので、③を代入して

が求まります。

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