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因数分解[3次の式を因数分解する公式]
著作名: ふぇるまー
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3次の式を因数分解する公式

2次の式の因数分解についてはすでに学習済みだと思いますが、ここでは3次の式の因数分解について解説していきます。3次の式とは、"x³-y³"のような式ですね。

3次の式を因数分解するためには、次の2つの公式を覚えましょう。

・a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)
・a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)


まず、本当に公式が成り立つか、右辺を展開して確かめてみましょう。
a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)

 (a+b)(a²-ab+b²)
=a(a²-ab+b²)+b(a²-ab+b²)
=a³-a²b+ab²+a²b-ab²+b³
=a³+b³

a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)

 (a-b)(a²+ab+b²)
=a(a²+ab+b²)-b(a²+ab+b²)
=a³+a²b+ab²-a²b-ab²-b³
=a³-b³

これらの因数分解の公式は、3次の式を展開する公式の逆になりますね。
それでは、練習問題を通して3次の式の因数分解になれていきましょう。

練習問題

問題 次の式を因数分解せよ
(1) 8x³+8y³
(2) x³-64


(1) 8x³+8y³

まず、先にくくり出せるものはくくり出しておきましょう。

8x³+8y³=8(x³+y³)

a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)の公式より

8(x³+y³)=(x+y)(x²-xy+y²)

因数分解を始めるまえに、くくり出せるものは先にくくり出しておくと、計算が楽になることもある


(2) x³-64

"64"が"4³"なことに気づけると、一発で答えを求めることができます。

x³-64=x³-4³

a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)の公式より、

 x³-4³
=(x-4)(x²+4x+4²)
=(x-4)(x²+4x+16)

3乗の因数分解のときには、"○³+△³"または"○³-△³"の形を作ることが重要


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