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工夫して展開する練習問題[式の展開]
著作名: ふぇるまー
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式の展開

式を展開するときに、ちょっとした工夫をすることで楽に展開ができるようになります。練習問題を解きながら、楽に展開をする方法を身につけていきましょう。

練習問題

問題 次の式を展開せよ
(1) (x+1)(x+2)(x-1)(x-2)
(2) (a+b)²(a-b)²


(1) (x+1)(x+2)(x-1)(x-2)

ここでは、項の順番を並び替えることで計算を考えてみます。
"(x+1)(x+2)(x-1)(x-2)"を並び替えて"(x+1)(x-1)(x+2)(x-2)"とします。

"(x+1)(x-1)"と"(x+2)(x-2)"の展開は、"(a+b)(a-b)=a²-b²"という乗法公式で展開ができそうですね。

(x+1)(x-1)(x+2)(x-2)=(x²-1)(x²-4)

続いて(x²-1)(x²-4)を展開していきます。
この展開は、"(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab"という乗法公式を用いて行います。

 (x²-1)(x²-4)
=(x²)+(-1-4)x²+(-1)×(-4)
=x⁴-5x²+4

"(x+1)(x+2)(x-1)(x-2)"を1つ1つ展開するよりも、時間を節約して解くことができますね!

(2) (a+b)²(a-b)²

解法1

ここでも項の順番を並び替えてみましょう。

 (a+b)²(a-b)²
=(a+b)(a+b)(a-b)(a-b)
=(a+b)(a-b)(a+b)(a-b)

(a+b)(a-b)を先に計算すると

 (a+b)(a-b)(a+b)(a-b)
=(a²-b²)(a²-b²)
=(a²-b²)²

"(a+b)²=a²+2ab+b²"という乗法公式より
 (a²-b²)²
=(a²)²-2a²b²+(b²)²
=a⁴-2a²b²+b⁴

解法2

別の解き方としては、

(a+b)²(a-b)²={(a+b)(a-b)}²


であることを覚えておくと便利でしょう。
指数法則で、"(ab)²=a²b²"でしたね。
逆に考えると、"a²b²=(ab)²"ということになります。
ここで、ややこしいですが、aを(a+b)に、bを(a-b)に置き換えてみます。すると

(a+b)²(a-b)²={(a+b)(a-b)}²

が成り立つことがわかります。このことから

(a+b)²(a-b)²を見た瞬間に、"(a+b)²(a-b)²={(a+b)(a-b)}²"と考えて構いません。


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