manapedia
中学数学3 中点連結定理の証明
著作名: となりがトトロ
60,492 views
マナペディア(manapedia)とは、中学校・高等学校で勉強する科目に特化した、マナビを共有し合う場です。たくさんのテキストの中からあなたにあったマナビを探したり、あなたが学習・勉強してきたマナビを形に残したりすることができます。テキストの内容に関しては、他の参考文献をご覧になり、ご自身の責任のもとご判断・ご利用頂きますようお願い致します。

中線連結定理の証明

ALT


△ABCの辺AB、辺ACの中点をそれぞれM、Nとしたとき、次の定理が成り立ちます。



このテキストでは、この定理を証明していきます。

証明

△ABCにおいて、AM=MB、AN=NCより

AM:MB=AN:NC=1:1

となる。ここで、平行線と線分の比を思い出してみる。

ALT

上図のように△ABCにおいて、辺ABと辺AC上に点Pと点QがあってPQ//BC(平行)なとき、次の定理が成り立つ。

AP:PB=AQ:QC


これが平行線(三角形)と線分の比の関係である。逆を言うと、AP:PB=AQ:QCであれば、PQ//BCとなる。

証明に戻ると、AM:MB=AN:NC=1:1なので、このことからMN//BCとなることがわかる。


続いて、△ABCと△AMNについてみていく。
Mは辺ABの中点であることから、AM:AB=1:2 -①
同様に、Nは辺ACの中点であることから、AN:AC=1:2 -②
∠BACはどちらの三角形も共通した角である。 -③

①、②、③より、2組の辺の比とその間の各がそれぞれ等しいという相似条件を満たすので、△ABCと△AMNは相似な三角形であることがわかる。

このことから、MN:BC=1:2であり、これを変形させて



証明おわり。

このテキストを評価してください。
役に立った
う~ん・・・
※テキストの内容に関しては、ご自身の責任のもとご判断頂きますようお願い致します。






中学数学