manapedia
三角形の垂心の証明
著作名: となりがトトロ
24,398 views
マナペディア(manapedia)とは、中学校・高等学校で勉強する科目に特化した、マナビを共有し合う場です。たくさんのテキストの中からあなたにあったマナビを探したり、あなたが学習・勉強してきたマナビを形に残したりすることができます。テキストの内容に関しては、他の参考文献をご覧になり、ご自身の責任のもとご判断・ご利用頂きますようお願い致します。

三角形の垂心の証明

三角形の垂心

ALT

三角形の各頂点から、対辺またはその延長上に下ろした3本の垂線は、1点で交わる


このテキストでは、この定理を証明します。

証明

△ABCの各頂点から、対辺に向かって垂線をおろす。(頂点Aからは辺BCに向かって、頂点Bからは辺ACにむかって、頂点Cからは辺ABに向かって。)下ろした直線は垂線なので、当然、各辺と垂直に交わることになる。

次に、頂点Aを通り辺BCと平行になる直線、頂点Bを通り辺ACと平行になる直線、頂点Cを通り辺ABと平行になる直線を引き、交点をそれぞれP、Q、Rとする。

以上の補助線を引いたものが、次の図である。
ALT



RA//BC、PB//ACより、四角形RBCAは平行四辺形である。よって
BC=RA -①

同様にして、刺客荊ABCQも平行四辺形なので、
BC=AQ -②

①、②よりRA=AQ -③

BCとQRは平行、そしてADとBCが垂直に交わっていることから、
AD⊥RQ -④

③、④から、ADは辺QRの垂直二等分線であることがわかった。
同様にして、BEとCFはそれぞれ、辺RPと辺PQの垂直二等分線であることもわかる。

三角形において、3つの辺の垂直二等分線は1つの点で交わるので(三角形の外心)、△PQRの各辺の垂直二等分線もまた、同じ1つの点で交わる。

△PQRの垂直二等分線AP、BQ、CRは、AD、BE、CFを延長したものであるから、AD、BE、CFもまた1点で交わるといえる。

証明おわり。

このテキストを評価してください。
役に立った
う~ん・・・
※テキストの内容に関しては、ご自身の責任のもとご判断頂きますようお願い致します。