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高校数学A 三垂線の定理とその証明
著作名: となりがトトロ
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三垂線の定理

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αという平面上に直線lがあります。この平面α上にはない点Pをとって、点Pから平面αに垂直におろした直線とαとの交点をOとします。Oから直線lに垂線をひき、その交点をAとします。この条件のとき、次の定理が成り立ちます。

PO⊥αOA⊥lならば、PA⊥l

PO⊥αPA⊥lならば、OA⊥l

PA⊥lOA⊥lPO⊥AOならば、PO⊥α


証明

①PO⊥α、OA⊥lならば、PA⊥lの証明


PO⊥αより、POとlは垂直に交わることがわかる。
よって直線lは、平面AOP上の2つの直線POとOAに垂直に交わるとなる。このことから、直線lと平面AOPは垂直に交わることがわかる。

PAは平面AOP上にあることから、、PAと直線lが垂直に交わることが導き出せる。

②PO⊥α、PA⊥lならば、OA⊥lの証明


PO⊥αより、POと直線lは垂直に交わることがわかる。
よって直線lは、平面AOP上の2つの直線POとPAに垂直に交わるとなる。このことから、直線lと平面AOPは垂直に交わることがわかる。

OAは平面AOP上にあることから、OAと直線lが垂直に交わることが導き出せる。

③PA⊥l、OA⊥l、PO⊥AOならば、PO⊥α

直線lは平面AOP上の2つの直線、PAとOAに垂直に交わることから、直線lと平面AOPは垂直に交わる。

また、POは平面AOP上にあることから、OAと直線lが垂直に交わる。したがって、POは平面α上にあるAOと直線lに垂直で交わることとなるので、POとαが垂直に交わることが導き出せる。

証明おわり。

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