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「円に内接する四角形の対角の和は180°」定理の証明
著作名: となりがトトロ
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円に内接する四角形の性質


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1:円に内接する四角形の対角の和は180°
2:四角形の内角は、その対角の外角に等しい


このテキストでは、この定理を証明します。

証明

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四角形ABCDが円Oに内接するとき、

∠BAD=α
∠BCD=β

とすると、円の中心角は円周角の2倍の大きさにあたるので

∠BOD(赤)=2α
∠BOD(青)=2β

となる。すなわち
2α+2β=360°

この式の両辺を2で割ると
α+β=180° -①

以上のことから、「1:円に内接する四角形の対角の和は180°」が成り立つことが証明できた。続いて「2:四角形の内角は、その対角の外角に等しい」の証明にうつる。

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図をみると、∠BCDの外角の大きさは、

∠BCDの外角=180°-β -②

となる。①を変形すると

α=180°ーβ -③

②と③より、∠BCDの外角=αとなることがわかる。
以上で、「2:四角形の内角(α)は、その対角(β)の外角に等しい」が成り立つことが証明できた。

証明おわり。

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