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角錐と円錐の表面積の求め方
著作名: じょばんに
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角錐・円錐の表面積

立体すべての面の面積の合計のことを表面積と言います。例えば次の三角錐の表面積を考えてみましょう。
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表面積を求めよという場合は、右図のように展開をして、4つの面の面積を1つずつ求めてそれらを足すことで、角錐の表面積が求まります。

立体の表面積は、立体を展開してから考える


練習問題

では、早速問題を解いてみましょう。応用問題です。角錐ではなく円錐の表面積を実際に求めてみましょう。次に与えられた条件だけで、円錐の表面積を求めることができるでしょうか。

次の円錐の表面積を求めよ

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◆ポイント
・立体の表面積を求めるために、立体を展開してみる
・円錐の展開図はどのような形であったかを思い浮かべる
底面の円周は、扇の弧と同じ長さということに気づけるか


円錐を展開すると、次のようになります。わかりやすくするために、点O、点A、点Bを図のようにおきます。
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この図から、扇の面積と円の面積をそれぞれ求めて、足したものが円錐の表面積であることがわかりますね。

扇の面積

扇の面積を求める公式は、


でしたね。しかし中心角αの値は、この問題では与えられていなく、この公式を使うのはむずかしいような気がします。ではちょっとアプローチをかえてみましょう。

ポイントにも書きましたが、円錐を展開したときに、底面の円の円周と扇の弧の長さが同じという性質を利用します。

円の円周は、


扇OABの弧の長さは、公式より


となります。これらの値が同じになるので


という式がたてられますね。この式を計算して


が求まります。さて、ようやく扇の中心角の値がわかりました。これを使って扇の面積を求めましょう。扇の面積は、


円の面積

そして底面の円の面積は、


最後に2つを足す

この2つの面積の合計が円錐の表面積となります。



(答)28π

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