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xの範囲が変わるとき、2次関数の最大値と最小値を考える
著作名: はっちゃん
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f(x)=x²-2x+4の最大値と最小値を、0≦x≦aの範囲で求めよ


xの範囲が定まっていないときに、2次関数の最大値と最小値を求める問題にチャレンジしていく。数学Ⅰの分野の最大値・最小値を求める問題では一番やっかいなパターンではあるが、ここさえクリアできればこの手の問題で苦労することはなくなるので、しっかりと理解をしておきたいところだ。

グラフを描く

まずはf(x)=x²-2x+4のグラフを描く。最大値と最小値を求める一番の近道はグラフを描くことだと覚えておこう。f(x)=(x-1)²+3より、次のような放物線を描く。
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※x=0のときとx=2のときに、ともにy=4となることに注目

aの位置をイメージする

さて、ここからが本題である。aの位置によって最大値と最小値が異なってくることがイメージできるだろうか。
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aの位置によってこの4パターンが考えられる。これらのイメージがもてるかどうかが、この問題を解くための鍵である。すぐにイメージできるようになるわけではないので焦る必要はない。いろんなタイプの問題をこなして初めて身につくものなので、じっくりとやっていきたい。

①0≦a<1のとき、グラフより

最大値4(x=0)
最小値a²-2a+4(x=a)


②1≦a<2のとき、グラフより

最大値4(x=0)
最小値3(x=1)


③a=2のとき、グラフより

最大値4(x=0,x=2)
最小値3(x=1)


④2<aのとき、グラフより

最大値a²-2a+4(x=a)
最小値3(x=1)


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