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2次関数のグラフを、原点,x=k,y=lに関して移動する方法
著作名: はっちゃん
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2次関数の移動について簡単に考えてみよう

y=x²-2x+3を次のように移動した放物線の式を求めよ。
(1)原点に関して対称


ここでは、放物線を原点に関して対称に移動させたときの問題について考えていく。原点に関してとは、次のグラフのようなイメージである。
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さて問題を解くまえに覚えてもらいたいことがある。y=f(x)のグラフを原点に関して、x=kに対して、y=lに対して、そして点A(a、b)に関して対称移動すると、移動した先のグラフの方程式は次のようになる。

基準になるもの移動前の式移動後の式
原点y=f(x)-y=f(-x)
x=ky=f(x)y=f(2k-x)
y=ly=f(x)2l-y=f(x)
点A(a、b)y=f(x)2b-y=f(2a-x)


ここで本題にもどろう。与えられた2次関数y=x²-2x+3を原点に関して移動させた場合、どのような式になるだろうか。さきほどまとめた表の中から、原点に関して移動させた場合をチョイスしてあてはめてみる。yを-yに、xを-xに入れ替えていくと次のようになる。

-y=(-x)²-2(-x)+3
-y=x²+2x+3
y=-x²-2x-3
与えられたグラフと求めたグラフの関係

問題自体はこれで解決であるが、与えられた2次関数y=x²-2x+3・・・①と、求めた2次関数y=-x²-2x-3・・・②との関係をみていきたい。
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①は(1,2)を頂点とする下に凸な放物線を描き、②は(-1,-2)を頂点とする上に凸な放物線を描く。この2つを見比べてみると、原点に関して対称移動をした場合、頂点の座標が(a,b)から(-a,-b)となり、下に凸な放物線は上に凸な放物線へと向きを変えただけとわかる。

つまり、実は表にまとめたような公式を使わなくても、y=x²-2x+3から頂点をみちびきだして頂点の+-を変更し、下に凸なものを上に凸な形に変えるという作業を行うことでも、この問題は解くことが可能だ。

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