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最大値・最小値とxの範囲が与えられたときに2次関数の式を求める
著作名: はっちゃん
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練習問題を通して理解を深めよう

とある2次関数において最大値と最小値の値がわかり、かつxの範囲(定義域)が与えられた状態で、この2次関数の式を求める問題にチャレンジしてみよう。

定義域を-3≦x≦0とする関数f(x)=ax²+2ax+bの最大値が2、最小値が-2のとき、定数aとbの値を求めよ


まずf(x)=ax²+2ax+bを整理して、この2次関数の頂点の座標を求めていく。

f(x)=ax²+2ax+b
f(x)=a(x²+2x)+b
f(x)=a(x+1)²-a+b

またaはプラスかマイナスかがわからないので、求める2次関数は(-1、-a+b)を頂点とした下に凸なグラフ(a>0のとき)か、上に凸のグラフ(a<0のとき)を描くことが予想できる。a>0とa<0の2パターンについて考えていく。ちなみにa=0のときf(x)は2次関数ではなくなってしまうので計算にいれない。

a>0のとき

a>0のとき、グラフの予想図は次のようになる。-3≦x≦0であることを忘れないように。
ALT



a>0のとき、グラフの頂点のy座標の値が最小値となるので

-a+b=-2 ・・・①

またグラフから、x=-3のときに最大値3a+bなので

3a+b=2 ・・・②

①-②よりa=1。これを①に代入して、b=-1が求まる。
問題は、aとbの値を求めよなのでこれが答えとなる。

a<0のとき

a<0のとき、グラフの予想図は次のようになる。こちらでも-3≦x≦0であることを忘れないように。
ALT



a<0のとき、グラフの頂点のy座標が最大値となるので

-a+b=2 ・・・③

またグラフから、x=-3のときに最小値3a+bなので

3a+b=-2 ・・・④

③-④よりa=-1。これを③に代入してb=1が求まる。

グラフが下に凸なのか上に凸なのかを考えること、そしてきちんとグラフを描くことが正解への近道である。


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