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最小値とその他のもう1点の座標から2次関数の式を求める
著作名: はっちゃん
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練習問題を通して理解を深めよう

とある2次関数が、x=2のときに最小値1をとり、またそのグラフが(3,3)を通るとき、この2次関数の式を求めよ。


とある2次関数の最小値と、その他のもう1点の座標が与えられた状態で、2次関数の式を求めてみよう。

まず2次関数の式がどのように表されたかを思い出そう。2次関数の式は

y=ax²+bx+c ・・・①
y=a(x-p)²+q ・・・②

で表すことができた。①の式を用いる場合、少なくとも3点の座標がわかっている必要があったが、今回与えられたのは(2,1)と(3,3)の2点のみなので②の式の形を用いる。

ここで1つ考えてみてほしい。②は下に凸なグラフを描くだろうか、それとも上に凸なグラフを描くだろうか。ヒントとなるのはx=2のときに最小値が1という条件だ。xに範囲がない状態で最小値がわかるのは次のグラフのどちらだろうか。
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答えはグラフ1を描く関数だろう。このことからa>0がわかる。

ちなみに下に凸なグラフの場合、頂点の座標がその関数の最小値となることから、p=2、q=1がわかる。つまり②は、y=a(x-2)²+1となる。あとは与えられたもう1つの点(3,3)をこの式に代入してaの値を求めればよい。

3=a(3-2)²+1
a=2

以上のことから求める2次関数の式はy=2(x-2)²+1

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