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導関数の符号と関数の増減に関する性質の証明 3
著作名: OKボーイ
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関数f(x)が閉区間[a、b]において連続で、開区間(a、b)において微分可能であるとします。このとき
開区間(a、b)においてつねにf’(x)=0ならば、f(x)は閉区間[a、b]で定数をとります。

これを証明してみましょう。

証明

まず、[a、b]において「a<u<v<b」となる任意の値「u」と「v」をとります。この[u、v]の範囲で平均値の定理を使います。
平均値の定理とは、関数f(x)が閉区間[a、b]において連続で、開区間(a、b)において微分可能であるとき

となる定数cが存在する、というものでしたね。つまり
 …①
(u<c<v)
となるcが存在することになります。

①を変形して


この証明は、(a、b)でつねにf’(x)=0であるという条件の上で始まっていますので、f’(c)=0 …②

②より



このことから開区間(a、b)で常にf’(x)=0ならば、f(x)は閉区間[a、b]で定数をとることがわかります。


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数学III