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導関数の符号と関数の増減に関する性質の証明 2
著作名: OKボーイ
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関数f(x)が閉区間[a、b]において連続で、開区間(a、b)において微分可能であるとします。このとき
開区間(a、b)においてつねにf’(x)<0ならば、f(x)は閉区間[a、b]で単調に減少します。

これを証明してみましょう。
証明

まず、[a、b]において任意の値「u」と「v」を設けます。
この2つの値は「a≦u<v≦b」とします。

ここで平均値の定理を使います。平均値の定理とは、関数f(x)が閉区間[a、b]において連続で、開区間(a、b)において微分可能であるとき

となる定数cが存在する、というものでしたね。つまり
 …①(u<c<v)
となるcが存在することになります。

①を変形して


ここで、冒頭にa≦u<v≦bであるとしていますので v-u>0 …②
そしてこの証明は、(a、b)でつねにf’(x)<0であるという条件の上で始まっていますので、f’(c)>0 …③

②と③より(v-u)f’(x)<0
このことから




このことから、開区間(a、b)においてつねにf’(x)<0ならば、f(x)は閉区間[a、b]で単調に減少することがわかります。

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数学III